Choose an application

• Reference Manager
• EndNote
• RefWorks (Direct export to RefWorks)

519.63 --- 519.63 Numerical methods for solution of partial differential equations --- Numerical methods for solution of partial differential equations

Choose an application

• Reference Manager
• EndNote
• RefWorks (Direct export to RefWorks)

In deze thesis ontwikkelen we multischaal preconditioners voor lineaire stelsels die men verkrijgt door vierde orde elliptische vergelijkingen op twee-dimensionale polygonale domeinen te discretiseren met de Galerkinmethode. Basisingrediënten zijn de constructie van multischaal basissen voor C1 continue eindige elementenruimten van Powell-Sabin type, en de karaterisatie van bepaalde Sobolev ruimten door middel van gewogen normequivalenties gebaseerd op de multischaalrepresentatie van functies. Deze normequivalenties geven dadelijk een afschatting voor de groei van de conditiegetallen van de gevoorconditioneerde stelsels. We verkiezen multischaal basissen die een groot aantal Sobolev ruimten karakteriseren omdat de bijhorende preconditioners dan robuuster zijn. We onderzoeken verschillende types multischaal basissen, zoals een suboptimale standaard hiërarchische basis, een optimale hiërarchische basis gebaseerd op Lagrange interpolatie en verscheidene wavelet basissen. Op niet-uniforme driehoeksverdelingen van een domein construeren we een biorthogonale waveletbasis die de fractionele Sobolev ruimten met gladheidsexponent in het open interval (0.802774, 2.5) karakteriseert. Op uniforme driehoeksverdelingen van een domein construeren we een semi-orthogonale waveletbasis die de fractionele Sobolev ruimten met gladheidsexponent in het open interval (-2.5, 2.5) karakteriseert. Bovendien ontwikkelen we een elegante methode om de verkregen resultaten uit te breiden naar gelijkaardige constructies op het oppervlak van de bol. In this dissertation we are concerned with the development of multilevel preconditioners for linear systems that arise from Galerkin methods for fourth order elliptic equations on two-dimensional polygonal domains. The key ingredients are the construction of multiscale bases for C1 conforming finite element spaces of Powell-Sabin type, and the characterization of certain Sobolev spaces by weighted norm equivalences related to the multiscale representation of functions. The latter immediately yields bounds on the growth rate of the condition numbers of the preconditioned systems. Multiscale bases that characterize a large range of Sobolev spaces are preferable, since the corresponding preconditioners are more robust. We explore different types of multiscale bases, such as a suboptimal standard hierarchical basis, an optimal hierarchical basis based on Lagrange interpolation, and several wavelet-type bases. On non-uniform triangulations we construct a biorthogonal wavelet basis that characterizes the fractional Sobolev spaces with smoothness exponent in the open interval (0.802774, 2.5). On uniform triangulations we construct a semi-orthogonal wavelet basis that characterizes the fractional Sobolev spaces with smoothness exponent in the open interval (-2.5, 2.5). Furthermore we develop an elegant way to extend the obtained results to similar constructions on the surface of the two-sphere. De elastische vervorming van dunne platen kan men beschrijven door een vierde orde elliptische partiële differentiaalvergelijking. De vervorming van dunne platen is een typische toepassing, maar er zijn andere toepassingen die kunnen beschreven worden door dergelijke vergelijkingen. Meestal gaat het over een oplossing die een oppervlak beschrijft met minimale energie zoals bv. bij het ontwerp van de voorruit van een auto, ooglenzen, allerlei geologische toepassingen, enz. Om een partiële differentiaalvergelijking numeriek op te lossen gaat men deze vergelijking vaak discretiseren met behulp van eindige elementen. Dit resulteert in een zeer groot lineair stelsel dat dan opgelost wordt met de geconjugeerde gradiëntmethode. Het stelsel lineaire vergelijkingen moet dan wel op gepaste wijze voorgeconditioneerd worden. Gedurende de voorbije 20 jaar is er actief gezocht naar verscheidene efficiënte voorconditioneringstechnieken. Een populaire techniek voor zulke problemen is de verandering van basis. Dit wil zeggen dat men niet zomaar een willekeurige eindige elementenbasis kiest om het probleem te discretiseren, maar dat men een geschikte basis kiest die aangepast is aan het probleem dat men wil oplossen. In 1986 verrichte Harry Yserentant baanbrekend werk door de zogenaamde hiërarchische basis te gebruiken voor het discretiseren van elliptische partiële differentiaalvergelijkingen. Een hiërarchische basis bestaat uit een aantal basisfuncties die geschikt zijn voor het ruw benaderen van een gegeven functie en basisfuncties die geschikt zijn voor het toevoegen van detail aan de initiële ruwe benadering. Op die manier creëert men een multischaal structuur waarbij men een functie op verscheidene niveau's van detail kan weergeven. Andere preconditioners volgden, zoals de nauw verwante BPX-preconditioner en de wavelet preconditioner. In de originele papers werden deze preconditioners ontwikkeld voor tweede orde elliptische partiële differentiaalvergelijkingen. In deze thesis kijken we naar geschikte preconditioners voor vierde orde elliptische partiële differentiaalvergelijkingen. The elastic deflection of thin plates can be modeled by a fourth order elliptic partial differential equation. The deflection of thin plates is a typical application, but also other applications rely on such equations. Usually one looks for a solution that describes a minimal energy surface such as, for instance, in the design of the front window of a car, eye lenses, all kinds of geological applications, and so on. Very often, in order to solve a partial differential equation numerically, one discretises the equation by means of so-called finite elements. A large linear system arises that is solved with the conjugate gradient method. However, for a fast and accurate solution, this linear system has to be suitably preconditioned. During the last 20 years people have looked for different kinds of efficient preconditioners. A popular technique for such problems is the change of basis. This means that one does not just take any finite element basis for discretising the problem, but one chooses a suitable basis that is adapted to the problem at hand. In 1986 Harry Yserentant introduced the so-called hierarchical basis to discretise elliptic partial differential equations. A hierarchical basis consists of some basis functions that are suitable for the coarse approximation of a given function and some basis functions that are suitable for adding detail to the initial coarse approximation. In this way one creates a multilevel structure such that a function can be approximated up to different levels of detail. Other similar preconditioners followed, such as the related BPX-preconditioner and the wavelet preconditioner. In the original papers these preconditioners were formulated in terms of second order elliptic equations. In this thesis we look for suitable preconditioners for fourth order elliptic partial differential equations.

519.63 <043> --- Academic collection --- Numerical methods for solution of partial differential equations--Dissertaties --- Theses --- 519.63 <043> Numerical methods for solution of partial differential equations--Dissertaties

Choose an application

• Reference Manager
• EndNote
• RefWorks (Direct export to RefWorks)

519.63 --- #TWER:MOD --- Numerical methods for solution of partial differential equations --- 519.63 Numerical methods for solution of partial differential equations --- Analyse numérique. --- Numerical analysis --- Éléments finis, Méthode des --- Finite element method

Choose an application

• Reference Manager
• EndNote
• RefWorks (Direct export to RefWorks)

Differential equations, Partial --- Numerical solutions --- -#TWER:BOEK --- #TWER:BOEK --- 519.63 --- 519.63 Numerical methods for solution of partial differential equations --- Numerical methods for solution of partial differential equations --- Numerical analysis --- Numerical solutions. --- Differential equations, Partial - Numerical solutions

Choose an application

• Reference Manager
• EndNote
• RefWorks (Direct export to RefWorks)

Numerical analysis --- Partial differential equations --- 519.63 --- Differential equations, Partial --- -Partial differential equations --- Numerical methods for solution of partial differential equations --- Numerical solutions --- Numerical solutions. --- -Numerical methods for solution of partial differential equations --- 519.63 Numerical methods for solution of partial differential equations --- -519.63 Numerical methods for solution of partial differential equations --- Calcul differentiel --- Solution numerique